Точка О не принадлежит плоскости паралелограмма ABCD. Докажите, что прямая проходящая через середины отрезков OC и OD, параллельна прямой AB

Задача требует доказать, что прямая, проходящая через середины отрезков $OC$ и $OD$, параллельна прямой $AB$. Давайте разберем это шаг за шагом.

Условия задачи

• Точка $O$ не принадлежит плоскости параллелограмма $ABCD$.
• Нам нужно доказать, что прямая, соединяющая середины отрезков $OC$ и $OD$, параллельна прямой $AB$.

Шаг 1: Параллелограмм ABCD

Из того, что $ABCD$ — параллелограмм, можно сделать несколько выводов:

1. Противоположные стороны параллелограмма параллельны и равны: $AB \parallel CD$ и $AD \parallel BC$.
2. Векторное представление параллелограмма поможет нам сформулировать дальнейшее решение.

Шаг 2: Векторное представление точек

Предположим, что точки $A$, $B$, $C$ и $D$ векторно представлены как $\vec{A}$, $\vec{B}$, $\vec{C}$ и $\vec{D}$. Тогда, поскольку $ABCD$ — параллелограмм, мы знаем, что:

• $\vec{C} - \vec{A} = \vec{D} - \vec{B}$.

Шаг 3: Средняя точка отрезков $OC$ и $OD$

Пусть точка $M$ — середина отрезка $OC$, а точка $N$ — середина отрезка $OD$. Средняя точка отрезка находится по формуле:

• $M = \frac{O + C}{2}$,
• $N = \frac{O + D}{2}$.

Шаг 4: Векторное представление прямой, соединяющей $M$ и $N$

Для того чтобы доказать, что прямая $MN$ параллельна прямой $AB$, нужно доказать, что вектор $\overrightarrow{MN}$ пропорционален вектору $\overrightarrow{AB}$.

Вектор $\overrightarrow{MN}$ можно выразить как:

Таким образом, вектор $\overrightarrow{MN} = \frac{D - C}{2}$.

Шаг 5: Вектор $AB$

Вектор $\overrightarrow{AB}$ можно выразить как:

Теперь заметим, что в параллелограмме $ABCD$ выполняется следующее соотношение:

Это следует из того, что противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны.

Шаг 6: Заключение

Поскольку $\overrightarrow{MN} = \frac{D - C}{2}$, а $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, можно сказать, что вектор $\overrightarrow{MN}$ пропорционален вектору $\overrightarrow{AB}$