В трапеции ABCD BC и AD - основания, точка О - точка пересечения диагоналей, Площадь AOD=8, площадь BOC=2. Найти площадь трапеции.

Задача требует нахождения площади трапеции, если известны площади двух треугольников, образующихся при пересечении диагоналей.

Дано:

• Трапеция ABCD, где BC и AD — основания,
• Точки пересечения диагоналей трапеции: точка О,
• Площадь треугольника AOD = 8, площадь треугольника BOC = 2.

Шаг 1: Вспомним важное свойство трапеции

Диагонали трапеции пересекаются в точке O, и точка пересечения делит диагонали на отрезки, пропорциональные длинам оснований трапеции. То есть, если $AB$ и $CD$ — это основания трапеции, то длины отрезков на диагоналях, разделённые точкой O, пропорциональны этим основаниям.

Площадь трапеции можно выразить как сумму площадей четырёх треугольников, образующихся при пересечении диагоналей. Эти треугольники — $AOD$, $BOC$, $AOB$ и $COD$.

Шаг 2: Определим соотношение площадей

Площадь треугольника пропорциональна произведению основания на высоту, но в нашем случае важнее то, что площади треугольников, образующихся при пересечении диагоналей, пропорциональны длинам соответствующих оснований трапеции.

Итак, площади треугольников $AOD$ и $BOC$ имеют отношение, которое соответствует отношению длин оснований трапеции. Известно, что:

Где $S_{AOD} = 8$, $S_{BOC} = 2$, следовательно:

Это даёт соотношение:

То есть, длина основания AD в 4 раза больше длины основания BC.

Шаг 3: Найдём площадь трапеции

Площадь трапеции можно вычислить через сумму площадей треугольников. Площадь трапеции — это сумма площадей четырёх треугольников, образующихся при пересечении диагоналей:

Так как треугольники $AOD$ и $BOC$ пропорциональны основаниям трапеции, можно использовать те же пропорции для нахождения площадей других треугольников. Так как отношение площадей треугольников $AOD$ и $BOC$ равно 4:1, то площади треугольников $AOB$ и $COD$ также будут иметь такое же соотношение.

Площадь трапеции можно выразить как:

Ответ: площадь трапеции равна 20.