Доказать что при пересечении двух параллельных прямых секущей соответственные углы равны

Для доказательства равенства соответствующих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей воспользуемся аксиомами и теоремами планиметрии.

Условие задачи:

• Пусть $a$ и $b$ — две параллельные прямые ($a \parallel b$).
• Прямая $c$ — секущая, которая пересекает $a$ и $b$ в точках $A$ и $B$, соответственно.

При этом при пересечении секущей с прямыми $a$ и $b$ образуются четыре угла у каждой прямой:

1. На прямой $a$: $\angle 1$, $\angle 2$, $\angle 3$, $\angle 4$.
2. На прямой $b$: $\angle 5$, $\angle 6$, $\angle 7$, $\angle 8$.

Цель: доказать, что соответствующие углы равны, то есть:

Доказательство:

1. Аксиома параллельных прямых. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то:

   • Накрест лежащие углы равны.
   • Односторонние углы в сумме дают $180^\circ$.

2. Свойство вертикальных углов. Вертикальные углы равны.

Доказательство равенства $\angle 1 = \angle 5$ (первой пары соответствующих углов):

• Рассмотрим накрест лежащие углы: $$\angle 1 = \angle 8 \quad \text{(накрест лежащие углы при пересечении \(a\) и \(c\))}.$$
• Далее на прямой $b$: $$\angle 8 = \angle 5 \quad \text{(накрест лежащие углы при пересечении \(b\) и \(c\))}.$$
• Следовательно: $$\angle 1 = \angle 5.$$

Аналогично для других пар:

• Для $\angle 2 = \angle 6$:
  • Накрест лежащие углы дают $\angle 2 = \angle 7$, а затем $\angle 7 = \angle 6$.
• Для $\angle 3 = \angle 7$:
  • Накрест лежащие углы дают $\angle 3 = \angle 6$, а затем $\angle 6 = \angle 7$.
• Для $\angle 4 = \angle 8$:
  • Накрест лежащие углы дают $\angle 4 = \angle 5$, а затем $\angle 5 = \angle 8$.

Итог:

Мы доказали, что при пересечении двух параллельных прямых секущей все соответствующие углы равны, опираясь на аксиому параллельных прямых и свойства накрест лежащих и вертикальных углов.