На рис. 39 АВСD-прямоугольник, BM=CN. Докажите, что треугольник АКD-равнобедренный.

Чтобы доказать, что треугольник $\triangle AKD$ равнобедренный, нам нужно показать, что две его стороны равны. Для этого мы воспользуемся информацией, данной в условии, а именно: $ABCD$ - прямоугольник и $BM = CN$.

1. Используем свойства прямоугольника: В прямоугольнике противоположные стороны равны, так что $AB = CD$ и $AD = BC$.

2. Рассмотрим $\triangle ABM$ и $\triangle DCN$: Поскольку $BM = CN$ и $AB = CD$ (как противоположные стороны прямоугольника), эти два треугольника равны по двум сторонам и углу между ними (угол $A$ равен углу $D$, так как оба являются прямыми углами).

3. Покажем, что $AM = DN$: Поскольку $\triangle ABM$ и $\triangle DCN$ равны, их соответствующие стороны равны, то есть $AM = DN$.

4. Рассмотрим $\triangle AKD$: Теперь, когда мы знаем, что $AM = DN$, можно сказать, что $AK = AD - AM$ и $DK = DC - DN$. Но поскольку $AD = BC$ и $AM = DN$, выходит, что $AK = DK$.

Таким образом, мы доказали, что в треугольнике $\triangle AKD$ две стороны $AK$ и $DK$ равны, следовательно, $\triangle AKD$ - равнобедренный.