Дана окружность с диаметром АС и BD. Докажите, что четырехугольник ABCD прямоугольник.

Для доказательства того, что четырехугольник $ABCD$ является прямоугольником, воспользуемся геометрическими свойствами окружности и диаметра.

Дано:

1. Окружность.
2. $AC$ и $BD$ — диаметры этой окружности.
3. Нужно доказать, что $ABCD$ — прямоугольник.

Доказательство:

1. Угол, опирающийся на диаметр, прямой.

Из свойства окружности известно, что угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. Это следует из того, что диаметр окружности делит её на две полуокружности, и любой угол, опирающийся на одну из полуокружностей, является вписанным прямым углом.

• Угол $\angle ABC$ опирается на диаметр $AC$, следовательно, $\angle ABC = 90^\circ$.
• Угол $\angle ADC$ опирается на диаметр $AC$, следовательно, $\angle ADC = 90^\circ$.

2. Диаметры пересекаются в центре окружности.

Диаметры $AC$ и $BD$ пересекаются в центре окружности $O$. Таким образом, точка $O$ — центр симметрии четырехугольника $ABCD$.

3. Углы у каждого диаметра равны $90^\circ$.

• Аналогично рассмотрим диаметр $BD$:
  • Угол $\angle BAD$ опирается на диаметр $BD$, следовательно, $\angle BAD = 90^\circ$.
  • Угол $\angle BCD$ опирается на диаметр $BD$, следовательно, $\angle BCD = 90^\circ$.

4. Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$.

Сумма всех углов четырехугольника равна:

Все углы четырехугольника $ABCD$ прямые, а это означает, что $ABCD$ — прямоугольник.

Заключение:

Четырехугольник $ABCD$, вершины которого лежат на окружности, а стороны включают два диаметра ($AC$ и $BD$), является прямоугольником. Это доказано на основании свойства вписанных углов, опирающихся на диаметр, и геометрии окружности.