К окружности с центром в точке O проведены касательная AB и секущая AO. Найти радиус окружности, если AB=45, AO=75

Давайте разберем задачу подробно.

У нас есть окружность с центром в точке $O$, к которой проведены касательная $AB$ и секущая $AO$. Дано, что $AB = 45$ и $AO = 75$. Необходимо найти радиус окружности ($R$).

Разбор задачи

Касательная $AB$ и радиус, проведённый в точку касания, образуют прямой угол. Пусть точка касания касательной $AB$ с окружностью обозначена как $T$. Тогда $OT$ — это радиус окружности, и он перпендикулярен $AB$.

Секущая $AO$ проходит через центр окружности, и её длина от центра окружности до точки $A$ равна $75$. Здесь возникает важная теорема:

Свойство касательной и секущей:
Длина касательной к окружности связана с длиной секущей и радиусом окружности через формулу:

где:

• $OA$ — расстояние от центра окружности до точки на касательной,
• $AB$ — длина касательной,
• $OT = R$ — радиус окружности.

Подставим известные значения

Формула принимает вид:

Решение уравнения

1. Вычислим квадраты:

Уравнение становится:

2. Выразим $R^2$:

3. Найдём $R$, извлекая квадратный корень:

Ответ

Радиус окружности равен $\mathbf{60}$.