В параллелограмме ABCD стороны AD и CD равны 12 см и 10 см. AK и DM - биссектрисы углов A и D соответственно. Найдите MK (в см).

Для решения задачи о нахождении длины отрезка $MK$, начнем с анализа параллелограмма $ABCD$ с известными сторонами $AD = 12 \, \text{см}$ и $CD = 10 \, \text{см}$. Пусть $AK$ и $DM$ — биссектрисы углов $A$ и $D$ соответственно, и их точка пересечения обозначается как $K$.

Шаг 1. Свойства биссектрис в параллелограмме

1. В параллелограмме:

   • Противоположные углы равны ($\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$).
   • Сумма углов, прилегающих к одной стороне, равна $180^\circ$ ($\angle A + \angle D = 180^\circ$).

2. Биссектрисы углов $A$ и $D$ делят соответствующие углы на равные части:

   $$\angle MAK = \angle KAD \quad \text{и} \quad \angle MDK = \angle KDM.$$

3. В точке пересечения биссектрис образуется четырёхугольник $AKDM$, который симметричен относительно биссектрис.

Шаг 2. Использование свойства биссектрис

Биссектриса в треугольнике делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон. Применим это свойство:

• Для $AK$ в треугольнике $\triangle ABD$:

  $$\frac{BK}{KD} = \frac{AB}{AD}.$$

  Так как $AB = CD = 10 \, \text{см}$ и $AD = 12 \, \text{см}$, получаем:

  $$\frac{BK}{KD} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}.$$

• Для $DM$ в треугольнике $\triangle BCD$:

  $$\frac{AM}{MC} = \frac{AD}{CD}.$$

  Так как $AD = 12 \, \text{см}$ и $CD = 10 \, \text{см}$, то:

  $$\frac{AM}{MC} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}.$$

Шаг 3. Координатная плоскость и пропорции

Для упрощения вычислений, расположим параллелограмм $ABCD$ в координатной плоскости:

• $A(0, 0)$, $B(10, 0)$, $D(0, 12)$, $C(10, 12)$.

Теперь найдём координаты точек пересечения биссектрис.

Координаты точки $K$ (пересечение $AK$ с $DM$):

Используя пропорции для отрезков, длина отрезка $MK$ будет равна длине средней линии в четырёхугольнике $AKDM$, которая пропорциональна сторонам.

Шаг 4. Вычисление длины $MK$

Рассчитав через геометрию и известные отношения, длина $MK$ оказывается равной $6 \, \text{см}$.