Через вершину В квадрата ABCD проведена прямая BF, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояния от точки F до прямых, содержащих стороны и диагонали квадрата, если BF = 8 дм, АВ = 4 дм.

(И нарисуйте рисунок)

Для решения задачи сначала сделаем необходимые построения и выведем расчетные формулы.

1. Построение

• Рассмотрим квадрат $ABCD$ в плоскости $XY$, с вершинами: $A(0, 0)$, $B(4, 0)$, $C(4, 4)$, $D(0, 4)$.
• Прямая $BF$, перпендикулярная плоскости квадрата, поднимается вверх на $8$ дм, так что точка $F$ имеет координаты $F(4, 0, 8)$.

Теперь найдем расстояния от точки $F$ до прямых, содержащих стороны $AB$, $BC$, $CD$, $DA$, а также диагоналей $AC$ и $BD$.

2. Расчет расстояний

2.1. Расстояние до прямой $AB$

Прямая $AB$ лежит в плоскости $XY$, ее уравнение:

Точка $F(4, 0, 8)$ находится на расстоянии:

2.2. Расстояние до прямой $BC$

Прямая $BC$ задается уравнениями:

Расстояние от $F$ до $BC$ равно:

2.3. Расстояние до прямой $CD$

Прямая $CD$ задается уравнениями:

Расстояние от $F$ до $CD$:

2.4. Расстояние до прямой $DA$

Прямая $DA$ задается уравнениями:

Расстояние от $F$ до $DA$: