Основание равнобокой трапеции относиться как 2:5, а диагональ делит тупой угол трапеции пополам . Найдите стороны трапеции , если ее периметр равен 8 см

Решим задачу поэтапно.

Шаг 1: Анализ задачи

Дано:

1. Равнобокая трапеция, у которой основания относятся как $2:5$.
2. Диагональ делит тупой угол пополам.
3. Периметр трапеции равен $8$ см.

Обозначим:

• Основания трапеции — $a$ и $b$, где $a$. Пусть $a=2x$, а $b=5x$, исходя из соотношения $2:5$.
• Боковые стороны равны и обозначим их $c$.
• Периметр трапеции равен сумме всех сторон:

Шаг 2: Выразим $a$, $b$ и $c$ через $x$

Подставим $a = 2x$ и $b = 5x$ в уравнение периметра:

Упростим:

Выразим $c$:

Шаг 3: Используем условие про диагональ

Диагональ делит тупой угол пополам, а это значит, что трапеция имеет геометрическую связь между основаниями и боковыми сторонами. Поскольку трапеция равнобокая, боковые стороны равны. Используем теорему о пропорциональности в треугольниках, образованных диагональю:

где $c_1$ и $c_2$ — отрезки, на которые диагональ делит боковую сторону. Но в равнобокой трапеции из симметрии $c_1 = c_2 = \frac{c}{2}$.

Шаг 4: Выразим и решим

Для простоты предположим, что диагональ создает равнобедренный треугольник с основаниями трапеции. Это накладывает ограничение:

Подставим выражения для $a$ и $b$:

Упростим:

Теперь вернемся к $c = \frac{8 - 7x}{2}$ и подставим его в квадрат:

Раскроем квадрат левой части:

Умножим на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

Раскроем квадрат:

Соберем все в одну сторону:

Упростим:

Шаг 5: Решение квадратного уравнения

Решим уравнение:

Посчитаем дискриминант:

Приблизительно:

Два корня: