Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник,делит гипотенузу на отрезки , равные 5 см и 12см . Найдите катеты

Задача на нахождение катетов прямоугольного треугольника с вписанной окружностью, где гипотенуза делится на два отрезка длинами 5 см и 12 см, решается через свойства окружности, вписанной в треугольник.

1. Обозначим элементы треугольника:

   • Пусть прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом в вершине $C$.
   • Гипотенуза $AB$ делится на два отрезка, которые равны 5 см и 12 см. Обозначим эти отрезки как $BD = 5$ см и $AD = 12$ см.
   • Тогда гипотенуза $AB = 5 + 12 = 17$ см.
   • Через $r$ обозначим радиус вписанной окружности.

2. Связь длин отрезков и полупериметра: В прямоугольном треугольнике с вписанной окружностью сумма длин отрезков, на которые гипотенуза делится касательной к окружности, равна полупериметру $p$ треугольника. То есть:

   $$p = \frac{AB + BC + AC}{2}$$

   где $BC$ и $AC$ — это катеты треугольника.

   Таким образом, из условия задачи, где гипотенуза делится на отрезки $5$ см и $12$ см, имеем:

   $$p = BD + AD = 5 + 12 = 17.$$

3. Находим катеты через полупериметр: Мы знаем, что полупериметр $p$ равен $17$. Теперь, зная полупериметр, можно выразить длины катетов $BC$ и $AC$ через полупериметр:

   $$BC = p - AD = 17 - 12 = 5 \, \text{см},$$ $$AC = p - BD = 17 - 5 = 12 \, \text{см}.$$

4. Ответ: Катеты треугольника имеют длины 5 см и 12 см.