В прямоугольном треугольнике АВС угол С=90,угол А=30,АС=10 см,CD-высота,проведенная к стороне АВ,DE-перпендикуляр,проведенный из точки D к стороне АС.Чему равна длина АЕ?

Рассмотрим задачу подробно, шаг за шагом.

Дано:

1. В треугольнике $\triangle ABC$:
   • Угол $\angle C = 90^\circ$;
   • Угол $\angle A = 30^\circ$, следовательно, $\angle B = 60^\circ$;
   • Катет $AC = 10$ см.
2. Проведена высота $CD$, перпендикулярная гипотенузе $AB$.
3. Из точки $D$ на высоте $CD$ проведён перпендикуляр $DE$ к стороне $AC$.
4. Нужно найти длину $AE$.

Решение:

1. Найдём гипотенузу $AB$

В прямоугольном треугольнике с углом $30^\circ$ катет, прилежащий к этому углу ($AC$), равен половине гипотенузы:

2. Найдём второй катет $BC$

По теореме Пифагора:

3. Найдём длину высоты $CD$

В прямоугольном треугольнике высота $CD$, проведённая к гипотенузе, определяется формулой:

Подставим значения:

4. Координаты точки $D$ на гипотенузе $AB$

Поскольку $CD$ — высота, точка $D$ делит гипотенузу $AB$ на два отрезка $AD$ и $DB$, относящихся как квадраты прилежащих к ним катетов:

Подставим значения:

Это значит, что:

5. Найдём длину $AE$

Поскольку $DE$ перпендикулярно стороне $AC$, точка $E$ делит $AC$ на два отрезка $AE$ и $EC$, которые относятся так же, как отрезки $AD$ и $DB$. То есть:

Из условия $AC = 10$