Высота правильной треугольной пирамиды втрое меньше стороны основания. Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды. Ответ дайте в градусах. помогите пожалуйста, я просто очень устал(((

Не переживай, давай разберём этот вопрос вместе! Высота правильной треугольной пирамиды втрое меньше стороны её основания. Нужно найти угол между боковым ребром и плоскостью основания. Поехали шаг за шагом.

Шаг 1: Определим геометрию пирамиды

1. Основание пирамиды — правильный треугольник со стороной $a$. Это означает, что треугольник равносторонний.
2. Высота пирамиды ($h$) — это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. По условию, она втрое меньше стороны основания, то есть: $$h = \frac{a}{3}.$$
3. Боковые рёбра соединяют вершину пирамиды с вершинами треугольника основания.

Шаг 2: Найдём центр основания

Центр правильного треугольника лежит на пересечении его медиан. Координаты центра ($O$) можно считать средней точкой медиан, а для удобства можно воспользоваться известным результатом: центр делит медиану в отношении $2:1$ от вершины к основанию.

Медиана треугольника:

Центр основания $O$ отстоит от любой вершины основания на расстоянии:

Шаг 3: Рассмотрим треугольник, задающий угол

Для нахождения угла между боковым ребром и плоскостью основания нужно рассмотреть треугольник, образованный:

1. Высотой пирамиды ($h = \frac{a}{3}$),
2. Радиусом от центра основания до вершины ($r = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot a$),
3. Боковым ребром ($l$).

Боковое ребро можно найти через теорему Пифагора:

Посчитаем:

Шаг 4: Угол между боковым ребром и плоскостью основания

Ищем косинус угла между боковым ребром и плоскостью основания. Этот угол обозначим как $\alpha$. Косинус угла определяется как отношение прилежащего катета (высота $h$) к гипотенузе ($l$):

Подставляем значения:

Если $\cos \alpha = \frac{1}{2}$, то угол $\alpha$ равен $60^\circ$.

Ответ:

Угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды равен 60 градусов.