Сторона ромба равна 6,а острый угол равен 60 градусам .Найти длину меньшей диагонали ромба

Чтобы найти длину меньшей диагонали ромба, воспользуемся следующим алгоритмом:

1. Основные свойства ромба:

   • У ромба все стороны равны. В данном случае длина стороны $a = 6$.
   • Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам.
   • Острый угол ромба $\alpha = 60^\circ$.

2. Формула для диагонали через угол: Диагонали $d_1$ и $d_2$ ромба связаны со сторонами и углом следующим образом:

   $$d_1 = a \sqrt{2(1 - \cos \alpha)}, \quad d_2 = a \sqrt{2(1 + \cos \alpha)}.$$

   Здесь $d_1$ будет меньшей диагональю, так как $1 - \cos \alpha < 1 + \cos \alpha$ при $\alpha < 90^\circ$.

3. Нахождение $\cos 60^\circ$: Для угла $60^\circ$ известно, что $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$.

4. Вычисление меньшей диагонали $d_1$: Подставляем значения $a = 6$ и $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ в формулу:

   $$d_1 = 6 \sqrt{2 \left(1 - \frac{1}{2}\right)} = 6 \sqrt{2 \cdot \frac{1}{2}} = 6 \sqrt{1} = 6.$$

5. Проверка на соответствие меньшей диагонали: Используя формулу для $d_2$, можно проверить, что она больше:

   $$d_2 = 6 \sqrt{2 \left(1 + \frac{1}{2}\right)} = 6 \sqrt{2 \cdot \frac{3}{2}} = 6 \sqrt{3}.$$

   Так как $6 < 6 \sqrt{3}$, $d_1$ действительно является меньшей диагональю.

Ответ: Длина меньшей диагонали ромба равна $6$.