Объем куба равен 60. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной - центр куба.

Чтобы найти объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба, нужно следовать несколько простым шагам.

Шаг 1. Понимание структуры задачи

1. Объем куба равен 60. Объем куба можно вычислить по формуле:

   $$V_{\text{куба}} = a^3,$$

   где $a$ — длина ребра куба.

2. Известно, что объем куба равен 60, то есть:

   $$a^3 = 60.$$

   Отсюда можно найти длину ребра куба:

   $$a = \sqrt[3]{60} \approx 3.914.$$

Шаг 2. Характеристики пирамиды

Теперь, рассмотрим пирамиду. Она имеет следующие характеристики:

• Основание — это грань куба, которая является квадратом со стороной $a$.
• Вершина — это центр куба.

Центр куба находится на пересечении всех его диагоналей. Если куб расположен в пространстве таким образом, что его вершины находятся в точках с координатами $(0, 0, 0)$, $(a, 0, 0)$, $(a, a, 0)$, $(0, a, 0)$, $(0, 0, a)$, $(a, 0, a)$, $(a, a, a)$, $(0, a, a)$, то центр куба будет в точке:

Так как основание пирамиды — это квадрат с длиной стороны $a$, то площадь основания пирамиды равна:

Шаг 3. Высота пирамиды

Высота пирамиды — это расстояние от вершины пирамиды (центра куба) до плоскости основания. Поскольку основание пирамиды является гранью куба, и центр куба расположен на равном расстоянии от всех граней, высота будет равна половине длины ребра куба:

Шаг 4. Расчет объема пирамиды

Теперь, используя стандартную формулу для объема пирамиды:

где $S_{\text{осн}} = a^2$ — площадь основания, а $h = \frac{a}{2}$ — высота, получаем:

Шаг 5. Подставляем значение $a^3$

Мы знаем, что $a^3 = 60$. Следовательно:

Ответ:

Объем четырехугольной пирамиды равен 10 кубических единиц.