Один из внешних углов прямоугольного треугольника равен 120 градусов. Найдите большую и меньшую

Ответы на вопрос

Отвечает Хайруллина Елизавета.

Давайте разберемся, как решить задачу шаг за шагом.

У нас есть прямоугольный треугольник, в котором один из внешних углов равен 120 градусам. Нам нужно найти большую и меньшую сторону этого треугольника, если их сумма равна 24 см.

Шаг 1: Понимание углов

Так как треугольник прямоугольный, один из углов треугольника равен 90 градусов. Внешний угол при одном из углов треугольника равен 120 градусам. Внешний угол — это угол между продолжением одной из сторон и прилежащей стороной треугольника. Чтобы найти внутренний угол, нужно отнять 120° от 180°, так как угол на прямой (между продолжением стороны и прилежащей стороной) равен 180°.

Таким образом, внутренний угол треугольника при этой стороне равен:

180^\circ - 120^\circ = 60^\circ.

Следовательно, один из углов треугольника равен 60 градусам.

Шаг 2: Определение углов треугольника

В прямоугольном треугольнике угол при 90° уже задан, а угол в 60° мы нашли только что. Оставшийся угол, который будет равен 30°, поскольку сумма углов в треугольнике всегда равна 180°.

Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник с углами 90°, 60° и 30°.

Шаг 3: Свойства треугольника с углами 30°, 60° и 90°

Прямоугольный треугольник с углами 30°, 60° и 90° обладает известными свойствами. Если одна из сторон такого треугольника равна $x$ , то:

противоположная стороне угла 30° сторона будет равна $x$ .
противоположная стороне угла 60° сторона будет равна $x \sqrt{3}$ .
гипотенуза (сторона напротив угла 90°) будет равна $2x$ .

Шаг 4: Связь сторон через их сумму

Пусть меньшая сторона $x$ — это сторона, противоположная углу 30°. Тогда большая сторона будет равна $x \sqrt{3}$ , а гипотенуза — $2x$ .

Сумма меньшей и большей стороны равна 24 см, то есть:

x + x\sqrt{3} = 24.

Теперь решим это уравнение для $x$ .

Шаг 5: Решение уравнения

Выносим $x$ за скобки:

x(1 + \sqrt{3}) = 24.

Теперь выразим $x$ :

x = \frac{24}{1 + \sqrt{3}}.

Для упрощения выражения умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $1 - \sqrt{3}$ :

x = \frac{24(1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} = \frac{24(1 - \sqrt{3})}{1^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{24(1 - \sqrt{3})}{1 - 3} = \frac{24(1 - \sqrt{3})}{-2}.

Упростим:

x = -12(1 - \sqrt{3}) = 12(\sqrt{3} - 1).

Приблизительно $\sqrt{3} \approx 1.732$ , поэтому:

x \approx 12(1.732 - 1) = 12 \times 0.732 = 8.784 \, \text{см}.

Шаг 6: Нахождение сторон

Теперь, зная $x$ , можем найти большую сторону:

x\sqrt{3} \approx 8.784 \times 1.732 \approx 15.2 \, \text{см}.

Ответ:

Меньшая сторона треугольника — примерно 8.78 см, а большая сторона — примерно 15.2 см.

Один из внешних углов прямоугольного треугольника равен 120 градусов. Найдите большую и меньшую сторону треугольника, если их сумма равна 24 см.