Докажите,что в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Давайте докажем, что гипотенуза всегда больше любого из катетов в прямоугольном треугольнике.

Основы доказательства:

1. Определение прямоугольного треугольника: Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол равен $90^\circ$. Гипотенуза – это сторона, лежащая напротив прямого угла, и она всегда является самой длинной стороной треугольника.

2. Теорема Пифагора: Теорема Пифагора гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

   $$c^2 = a^2 + b^2,$$

   где $c$ – гипотенуза, а $a$ и $b$ – катеты.

Доказательство:

Шаг 1: Сравним гипотенузу с одним катетом

Пусть мы сравниваем гипотенузу $c$ с катетом $a$. Тогда нам нужно доказать, что $c > a$.

Из теоремы Пифагора мы знаем:

Так как $b^2 > 0$ (квадрат катета $b$ не может быть отрицательным, потому что $b \neq 0$), мы имеем:

Теперь, если $c^2 > a^2$, то это означает, что $c > a$, так как квадрат большего числа всегда больше квадрата меньшего числа.

Шаг 2: Аналогично для второго катета

Аналогично мы можем показать, что $c > b$, подставляя вместо $a$ другой катет $b$ в теорему Пифагора.

Итог:

Мы доказали, что гипотенуза $c$ больше любого из катетов $a$ и $b$. Это свойство вытекает из самого определения гипотенузы и из теоремы Пифагора.

Таким образом, гипотенуза всегда является самой длинной стороной в прямоугольном треугольнике.