В треугольнике АВС угол с равен 90 градусов СН высота, ВС=12, sin угла A = 3/4. Найдите АН

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен 90 градусам, а высота $CH$ проведена из вершины $C$ на гипотенузу $AB$. Дано, что $BC = 12$ и $\sin A = \frac{3}{4}$. Необходимо найти длину отрезка $AH$.

Для начала, давайте обозначим стороны треугольника:

• $AB$ — гипотенуза,
• $AC$ — один из катетов,
• $BC$ — второй катет.

Поскольку $\sin A = \frac{3}{4}$, это соотношение говорит нам, что отношение противолежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB$ равно $3/4$. То есть:

Таким образом, можем найти гипотенузу $AB$:

Теперь, зная гипотенузу $AB = 16$ и катет $BC = 12$, мы можем найти длину другого катета $AC$ с помощью теоремы Пифагора:

Теперь, зная все стороны треугольника, можем найти высоту $CH$. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная на гипотенузу, делит гипотенузу на два отрезка. Используем формулу для площади треугольника, чтобы выразить $CH$.

Площадь треугольника $ABC$ можно вычислить двумя способами:

1. Через катеты: $\text{Площадь} = \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{7} \times 12 = 24\sqrt{7}$,
2. Через гипотенузу и высоту: $\text{Площадь} = \frac{1}{2} \times AB \times CH = \frac{1}{2} \times 16 \times CH$.

Приравниваем оба выражения для площади:

Теперь мы можем найти отрезок $AH$, который является частью гипотенузы $AB$. Так как высота $CH$ делит гипотенузу на два отрезка, можем использовать свойство прямоугольного треугольника, что произведение отрезков гипотенузы, на которые делит высота, равно квадрату высоты:

Поскольку $BH = AB - AH = 16 - AH$, подставляем в уравнение: