Найти диагонали прямоугольника АВСД, если угол ABD=30 градусов , АД=24см

Чтобы найти диагонали прямоугольника $ABCD$, где $AD = 24 \, \text{см}$ и угол $ABD = 30^\circ$, мы воспользуемся свойствами прямоугольника и тригонометрией.

1. Разберем условия задачи:

• $ABCD$ — прямоугольник, значит все углы равны $90^\circ$, а противоположные стороны равны.
• Сторона $AD$ — вертикальная сторона прямоугольника, равная $24 \, \text{см}$.
• Угол $ABD = 30^\circ$ — это угол между диагональю $BD$ и стороной $AB$.

Обозначим длину стороны $AB$ как $x$ (горизонтальная сторона прямоугольника). Тогда диагональ $BD$ соединяет вершины $B$ и $D$.

2. Выразим диагональ $BD$ через стороны $AB$ и $AD$:

По теореме Пифагора для треугольника $ABD$:

Значит, длина диагонали $BD$:

3. Используем угол $ABD$ для связи сторон:

В треугольнике $ABD$ угол $ABD = 30^\circ$. Используем тангенс:

Подставим известное значение $\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$:

Отсюда найдём $AB$:

4. Найдём длину диагонали $BD$:

Теперь подставим значения $AB = 24\sqrt{3}$ и $AD = 24$ в формулу для диагонали:

Вычислим:

Сложим:

5. Длина второй диагонали:

В прямоугольнике диагонали равны, поэтому длина $AC = BD = 48 \, \text{см}$.

Ответ:

Длины диагоналей прямоугольника $ABCD$: $BD = AC = 48 \, \text{см}$.