Найдите косинус угла А треугольника АВС, если А(3; 9), В(0; 6), С(4; 2).

Для нахождения косинуса угла $A$ в треугольнике $ABC$, заданном точками $A(3, 9)$, $B(0, 6)$, $C(4, 2)$, мы можем воспользоваться формулой скалярного произведения векторов. Косинус угла между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ находится по формуле:

где:

• $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ — векторы, соответствующие сторонам треугольника, выходящим из точки $A$,
• $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ — скалярное произведение векторов,
• $|\vec{AB}|$ и $|\vec{AC}|$ — длины векторов.

1. Определяем координаты векторов:

• Вектор $\vec{AB} = (B_x - A_x, B_y - A_y) = (0 - 3, 6 - 9) = (-3, -3)$,
• Вектор $\vec{AC} = (C_x - A_x, C_y - A_y) = (4 - 3, 2 - 9) = (1, -7)$.

2. Находим скалярное произведение:

Скалярное произведение двух векторов $\vec{AB} = (x_1, y_1)$ и $\vec{AC} = (x_2, y_2)$ вычисляется как:

Подставляем координаты:

3. Находим длины векторов:

Длина вектора $|\vec{v}|$ с координатами $(x, y)$ вычисляется по формуле: