Окружность, вписанная в треугольник ABC,касается сторон АВ, ВС и АС в точках М, К и Р соответственно. Найдите периметр треугольника АВС, если АР = 5, ВМ = 6, СК = 7.

Чтобы найти периметр треугольника $ABC$, воспользуемся свойствами вписанной окружности.

1. Суть задачи: Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон в точках $M$, $K$ и $P$, соответственно. Известны длины отрезков: $AP = 5$, $BM = 6$, $CK = 7$. Нужно найти периметр треугольника.

2. Обозначения и важные свойства:

   • Пусть $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника $ABC$, противоположные вершинам $A$, $B$ и $C$ соответственно.
   • Обозначим:
     • $s$ — полупериметр треугольника, то есть $s = \frac{a + b + c}{2}$.
   • У вписанной окружности для каждого из отрезков, касающихся сторон, выполняются следующие равенства:
     • $AM = s - a$,
     • $BM = s - b$,
     • $CK = s - c$,
     • $AP = s - a$,
     • $BP = s - b$,
     • $CP = s - c$.

3. Выражение сторон треугольника через известные отрезки:

   • Из условий задачи известно, что:
     • $AP = 5$,
     • $BM = 6$,
     • $CK = 7$.
   • Отсюда:
     • $AM = s - a$,
     • $BM = s - b$,
     • $CK = s - c$.

   Подставив значения отрезков:

   • $AM = s - a$, то есть $AM = 6$.
   • $BM = s - b$, .