Дан прямоугольный параллелепипед abcda1b1c1d1,основание которого квадрат. AC=6кв.корней из 2, AB1=4кв.корня из 3.Вычислите градусную меру двугранного угла B1ADB.

Решение

1. Определяем размеры параллелепипеда.
   Основание — квадрат ABCD. Его диагональ

   $$AC = 6\sqrt2.$$

   Диагональ квадрата равна $a\sqrt2$, где $a$ — сторона.

   $$a = \frac{AC}{\sqrt2}= \frac{6\sqrt2}{\sqrt2}=6.$$

   Рёбра основания: $AB = BC = CD = DA = 6$.

2. Находим высоту.
   Длина ребра $AB_1 = 4\sqrt3$. Оно соединяет $A(0,0,0)$ и $B_1(6,0,h)$ (см. координаты ниже), поэтому

   $$AB_1^2 = 6^2 + h^2 = 48 \;\Longrightarrow\; h^2 = 12,\quad h = 2\sqrt3.$$

3. Вводим координаты.

   $$\begin{aligned} A &= (0,0,0), \qquad &B &= (6,0,0),\\ D &= (0,6,0), \qquad &B_1 &= (6,0,2\sqrt3). \end{aligned}$$

4. Определяем требуемые плоскости.
   Двугранный угол $\angle B_1ADB$ образуют плоскости

   $$\pi_1 = (B_1AD),\qquad \pi_2 = (BAD),$$

   пересекающиеся по ребру $AD$.

5. Находим нормали к плоскостям.

   Для $\pi_2$ (основание):

   $$\mathbf n_2 = (0,0,1).$$

   Для $\pi_1$: берём векторы

   $$\overrightarrow{AD} = (0,6,0),\quad \overrightarrow{AB_1} = (6,0,2\sqrt3).$$

   Их векторное произведение

   $$\mathbf n_1 = \overrightarrow{AD}\times\overrightarrow{AB_1} = (12\sqrt3,\;0,\;-36).$$

6. Вычисляем угол между нормалями.

   $$\cos\theta = \frac{|\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2|} {\|\mathbf n_1\|\,\|\mathbf n_2\|} = \frac{|(12\sqrt3,0,-36)\cdot(0,0,1)|} {\sqrt{(12\sqrt3)^2+0^2+(-36)^2}\;\cdot 1} = \frac{36}{24\sqrt3} = \frac{\sqrt3}{2}.$$