В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC угол B равен 120°. Высота треугольника, проведённая из вершины A, равна 7. Найдите длину стороны AC.

Для того чтобы найти длину стороны $AC$ в данном равнобедренном треугольнике $ABC$, давайте сначала обозначим известные элементы:

1. Треугольник равнобедренный, то есть $AB = BC$.

2. Угол $B = 120^\circ$.

3. Высота, проведённая из вершины $A$, равна 7 и делит основание $AC$ пополам.

Высота, проведённая из вершины $A$, делит треугольник на два прямоугольных треугольника. Поскольку треугольник равнобедренный, то основание $AC$ делится пополам, и точка, где проведена высота, делит основание на два отрезка, каждый из которых равен $\frac{AC}{2}$.

Рассмотрим один из прямоугольных треугольников. Пусть его вершины — это точка $A$, середина основания $AC$ (обозначим её как $M$) и точка $C$. В таком треугольнике угол при вершине $A$ будет равен $60^\circ$ (так как угол $B = 120^\circ$, и высота делит его пополам). Высота $AM = 7$, и половина основания $MC = \frac{AC}{2}$.

Теперь применим к этому прямоугольному треугольнику теорему синусов:

Значение $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, поэтому:

Отсюда находим $AB$:

Теперь, используя косинусный закон в треугольнике $ABC$, найдём длину стороны $AC$. Поскольку угол $B = 120^\circ$, применим формулу:

Знаем, что $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, подставляем:

Таким образом, длина стороны $AC$ равна длине стороны $AB$, то есть: