Отрезки АМ и ВН - соответственно медиана и высота остроугольного треугольника АВС. Известно, что АН=1, угол МАС в 2 раза меньше угла МСА. Найдите длину стороны ВС.

Для решения задачи воспользуемся свойствами медианы, высоты и углов в треугольнике.

1. Свойства медианы: Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника и делит сторону, к которой она проведена, пополам. Таким образом, если АМ является медианой, то точка М делит сторону ВС на две равные части. Обозначим длину отрезка ВМ как $x$, тогда $СМ = x$ и $ВС = 2x$.

2. Свойства высоты: Высота перпендикулярна стороне, к которой она проведена, и делит треугольник на два прямоугольных треугольника. В нашем случае, ВН является высотой, следовательно, треугольники АНВ и СНВ прямоугольные.

3. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Если предположить, что треугольник AMC равнобедренный (поскольку AM = MC, если M является серединой BC), то углы MAC и MCA у основания AMC будут равны.

Из условия задачи известно, что угол МАС в 2 раза меньше угла МСА, что противоречит предположению о равнобедренности треугольника AMC. Следовательно, нам нужно найти другой подход к решению.

Учитывая, что $\angle MAC$ в 2 раза меньше $\angle MCA$, можно использовать теорему синусов для треугольника AMC. Пусть $\angle MAC = \alpha$, тогда $\angle MCA = 2\alpha$, и учитывая, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, получим $\alpha + 2\alpha + \angle AMC = 180$ или $3\alpha + \angle AMC = 180$. Отсюда $\alpha = \frac{180 - \angle AMC}{3}$.

К сожалению, без дополнительной информации, такой как длина стороны AC или угол AMC, применение теоремы синусов или косинусов непосредственно к треугольнику AMC или ABC может быть затруднительно.

Чтобы продвинуться дальше, нам нужно более конкретное соотношение или значение, связывающее элементы треугольника, такие как длины сторон или величины углов, которые не были предоставлены в условии задачи. В текущем виде, с данными, предоставленными в задаче, найти длину стороны ВС напрямую кажется невозможным без дополнительных уточнений или предположений.