Точки М и N – середины стороны ВС и CD параллелограмма ABCD. Выразите вектор AC через векторы m=AM и n=AN.

Задача заключается в том, чтобы выразить вектор $\overrightarrow{AC}$ через векторы $\overrightarrow{AM} = \mathbf{m}$ и $\overrightarrow{AN} = \mathbf{n}$, где точки $M$ и $N$ — середины сторон $BC$ и $CD$ соответственно.

Шаг 1. Введём обозначения:

• Пусть вектор $\overrightarrow{AB} = \mathbf{b}$,
• Пусть вектор $\overrightarrow{AD} = \mathbf{d}$.

Тогда можно записать, что:

• $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \mathbf{b} + \overrightarrow{BC}$,
• $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \mathbf{d}$ (так как $ABCD$ — параллелограмм).

Следовательно, вектор $\overrightarrow{AC} = \mathbf{b} + \mathbf{d}$.

Шаг 2. Выражаем векторы $\mathbf{m}$ и $\mathbf{n}$ через $\mathbf{b}$ и $\mathbf{d}$:

1. Так как точка $M$ — середина стороны $BC$, то вектор $\overrightarrow{AM}$ (или $\mathbf{m}$) можно выразить как:

   $$\mathbf{m} = \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \mathbf{b} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} = \mathbf{b} + \frac{1}{2} \mathbf{d}.$$

2. Точка $N$ — середина стороны $CD$, поэтому вектор $\overrightarrow{AN}$ (или $\mathbf{n}$) можно выразить как:

   $$\mathbf{n} = \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN} = \mathbf{d} + \frac{1}{2} \overrightarrow{CD} = \mathbf{d} + \frac{1}{2} (-\mathbf{b}) = \mathbf{d} - \frac{1}{2} \mathbf{b}.$$

Шаг 3. Выражаем $\mathbf{b}$ и $\mathbf{d}$ через $\mathbf{m}$ и $\mathbf{n}$:

Из уравнений для $\mathbf{m}$ и $\mathbf{n}$ получаем систему:

1. $\mathbf{m} = \mathbf{b} + \frac{1}{2} \mathbf{d}$,
2. $\mathbf{n} = \mathbf{d} - \frac{1}{2} \mathbf{b}$.

Решаем эту систему относительно $\mathbf{b}$ и $\mathbf{d}$.

1. Умножим первое уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:

   $$2\mathbf{m} = 2\mathbf{b} + \mathbf{d}.$$

   Теперь выразим $\mathbf{d}$ через $\mathbf{m}$ и $\mathbf{b}$:

   $$\mathbf{d} = 2\mathbf{m} - 2\mathbf{b}.$$

2. Подставим это выражение для $\mathbf{d}$ во второе уравнение:

   $$\mathbf{$$