Один из углов прямоугольного треугольника в 4 раза меньше другого. В другом прямоугольном треугольнике разность острых углов равна 54 градуса. Подобны ли треугольники? Почему?

Да, треугольники подобны.

Разберём по очереди.

1. В первом прямоугольном треугольнике острые углы α и β дополняют друг друга до 90° и один из них в 4 раза больше другого. Пусть меньший угол α, тогда β = 4α и

2. Во втором прямоугольном треугольнике острые углы γ и δ также в сумме дают 90°, причём их разность 54°:

Складываем уравнения: $2\delta = 144^\circ \Rightarrow \delta = 72^\circ$, тогда $\gamma = 18^\circ$.

Итак, в обоих треугольниках острые углы равны $18^\circ$ и $72^\circ$. Следовательно, они подобны по двум углам (AA-признак): каждый из них прямоугольный, и по одному острому углу у них совпадение.