Докажите, что в равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, делит треугольник на два равных треугольника.

Для доказательства того, что в равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, делит треугольник на два равных, следует рассмотреть следующий факт:

Пусть у нас есть равнобедренный треугольник $ABC$, где $AB = AC$, и пусть высота $AD$ проведена из вершины $A$ к основанию $BC$. Мы должны доказать, что треугольники $ABD$ и $ACD$ равны.

1. Построение и обозначения:
   В треугольнике $ABC$ проведена высота $AD$, которая перпендикулярна основанию $BC$, то есть угол $\angle ADB = \angle ADC = 90^\circ$. Точка $D$ — это основание высоты, и она лежит на отрезке $BC$.

2. Равенство сторон:
   В равнобедренном треугольнике $AB = AC$ по условию задачи.

3. Равенство углов:
   Так как $AD$ — высота, то $\angle ADB = \angle ADC = 90^\circ$, то есть прямые углы в обоих треугольниках.

4. Общие стороны:
   Страница $AD$ является общей для обоих треугольников $ABD$ и $ACD$.

5. Равенство треугольников по признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):
   Мы имеем равные стороны $AB = AC$, общую сторону $AD$, а также равные углы $\angle ADB = \angle ADC = 90^\circ$. Это означает, что треугольники $ABD$ и $ACD$ равны по признаку $САS$ (сторона-угол-сторона).

6. Заключение:
   Так как треугольники $ABD$ и $ACD$ равны, то они имеют одинаковые размеры и формы. Это означает, что высота, проведённая из вершины $A$ к основанию $BC$, делит треугольник $ABC$ на два равных треугольника.

Таким образом, доказано, что в равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, делит его на два равных треугольника.