4. Высота, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, равна 6 см и делит гипотенузу на отрезки, один из которых 4 см. Найдите стороны треугольника.

Задача состоит в том, чтобы найти стороны прямоугольного треугольника, зная, что высота, проведенная из вершины прямого угла, равна 6 см и делит гипотенузу на отрезки длиной 4 см и оставшуюся часть.

Обозначим:

• $a$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника,

• $c$ — гипотенуза,

• $h = 6$ см — высота, проведенная из вершины прямого угла,

• один из отрезков гипотенузы равен 4 см. Обозначим его как $x$, тогда второй отрезок гипотенузы будет равен $y = c - x$.

Так как высота делит прямоугольный треугольник на два меньших прямоугольных треугольника, можем воспользоваться свойствами прямоугольных треугольников и теоремой о произведении отрезков гипотенузы.

1. Теорема о высоте для прямоугольного треугольника утверждает, что произведение отрезков гипотенузы, на которые она делит гипотенузу, равно квадрату высоты:

Подставим известные значения:

2. Теперь, зная, что $c = 13$ см, можем найти второй отрезок гипотенузы:

3. По теореме Пифагора для каждого из двух меньших прямоугольных треугольников, а также для исходного треугольника, имеем:

где $a$ и $b$ — катеты исходного прямоугольного треугольника.

Для одного из меньших треугольников:

Для второго меньшего треугольника:

4. Проверим, что найденные катеты удовлетворяют теореме Пифагора:

Соблюдается равенство $a^2 + b^2 = c^2$, так что стороны треугольника верны.

Ответ: катеты прямоугольного треугольника равны $2\sqrt{6}$ см и $3\sqrt{6}$ см, а гипотенуза равна 13 см.