Из точки A к окружности с центром O и радиусом 8 см проведены касательные AB и AC (B и C точки касания). Найдите AB и AC, если угол BAC=60 градусов

Для решения задачи воспользуемся несколькими ключевыми свойствами окружности и касательных.

1. Свойства касательных:

• Касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны. Это означает, что $AB = AC$. Обозначим длину этих касательных через $x$.

2. Теорема о касательных:

• Угол между касательными, проведёнными из одной точки к окружности, равен удвоенному углу между радиусами, проведёнными в точки касания. В нашем случае это означает, что $\angle BAC = 60^\circ$, и угол между радиусами $OB$ и $OC$, которые перпендикулярны к касательным, будет равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

3. Построение треугольника:

Треугольник $OAB$ (и аналогично $OAC$) является прямоугольным. Действительно, радиус $OB$ перпендикулярен касательной $AB$ в точке касания $B$. Следовательно, $\angle OBA = 90^\circ$.

Теперь мы можем применить косинус теорему для треугольника $OAB$, так как известен угол $\angle BOA = 120^\circ$ и радиусы $OB = OC = 8$ см.

По теореме косинусов для треугольника $OAB$:

Подставляем известные значения:

• $OA$ — это расстояние от точки $A$ до центра окружности.
• $OB = 8$ см (радиус окружности).
• $\cos(120^\circ) = -0,5$.

Запишем уравнение:

Также нужно учесть, что $OA$ является расстоянием от точки $A$ до центра $O$, и его можно выразить через касательные $AB = AC = x$ и угол между ними $\angle BAC = 60^\circ$. Для этого вспомним, что точка $A$ лежит на равных расстояниях от точек касания, и треугольник $OAB$ симметричен.

Дальше решаем это уравнение относительно $x$ — длины касательной.