Прямая, проходящая через середину биссектрисы AD треугольника ABC перпендикулярно ей, пересекает сторону AC в точке M. Докажите, что MD ∥ AB.

Обозначим $E$ — середину отрезка $AD$. Через $E$ проведена прямая $\ell$, перпендикулярная $AD$; она пересекает $AC$ в точке $M$.

1. Так как $\ell$ проходит через середину $AD$ и перпендикулярна ему, то $\ell$ является серединным перпендикуляром к $AD$. Следовательно, любая точка на $\ell$ равноудалена от $A$ и $D$. В частности,

2. Из $MA=MD$ следует, что треугольник $AMD$ равнобедренный с основанием $AD$. Поэтому его при основании углы равны:

3. Так как $M\in AC$, то $\angle MAD=\angle CAD$.

4. По условию $AD$ — биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$, значит

5. Из пунктов (2)–(4) получаем

То есть прямая $MD$ и прямая $AB$ образуют с прямой $AD$ равные углы. Отсюда следует, что $MD\parallel AB$. Что и требовалось доказать.