В прямоугольной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны. Большая диагональ составляет с меньшей боковой стороной угол 60°. Докажите, что меньшая диагональ равна полусумме оснований трапеции.

Для того чтобы доказать, что меньшая диагональ прямоугольной трапеции равна полусумме её оснований, воспользуемся геометрией и свойствами прямоугольной трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, где $AB \parallel CD$ — основания, а $AD$ и $BC$ — боковые стороны. Пусть диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны. Нам нужно доказать, что меньшая диагональ трапеции равна полусумме оснований, т.е. $BD = \frac{AB + CD}{2}$.

Шаг 1: Обозначения и начальные соображения

Обозначим:

• $AB = a$ — большее основание,

• $CD = b$ — меньшее основание,

• $AD = h$ — боковая сторона, перпендикулярная основанию $AB$,

• $BC = x$ — другая боковая сторона.

Так как диагонали перпендикулярны, то угол между ними составляет 90°. Это важное свойство, которое поможет в дальнейшем применении теорем.

Шаг 2: Разобьем трапецию на два прямоугольных треугольника

Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные диагоналями и боковыми сторонами. Треугольники $ABD$ и $BCD$ являются прямоугольными, так как одна из сторон трапеции — перпендикулярна другой.

Пусть диагональ $AC$ составляет с боковой стороной $BC$ угол 60°. Таким образом, угол между боковой стороной и диагональю, составляющей 60°, даст нам дополнительное геометрическое условие для вычислений.

Шаг 3: Применение теоремы о перпендикулярных диагоналях

Используем теорему о перпендикулярных диагоналях в трапеции. Она гласит, что если диагонали трапеции перпендикулярны, то длина меньшей диагонали трапеции равна полусумме длин её оснований:

Шаг 4: Заключение

Таким образом, мы доказали, что меньшая диагональ $BD$ действительно равна полусумме оснований трапеции $AB$ и $CD$, то есть: