Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b, если ∠(p,q) — угол между векторами p и q, a = p - 3q, b = p + 2q, |p| = 1/5, |q| = 1, ∠(p,q) = π/2.

Для вычисления площади параллелограмма, построенного на векторах $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$, можно использовать формулу:

где $\times$ обозначает векторное произведение. Однако, чтобы найти площадь, нам нужно выразить векторное произведение через известные данные.

Даны:

• $\mathbf{a} = \mathbf{p} - 3\mathbf{q}$,

• $\mathbf{b} = \mathbf{p} + 2\mathbf{q}$,

• $|\mathbf{p}| = \frac{1}{5}$,

• $|\mathbf{q}| = 1$,

• угол между $\mathbf{p}$ и $\mathbf{q}$ равен $\frac{\pi}{2}$ (то есть они перпендикулярны).

Теперь, для вычисления векторного произведения $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$, можно использовать линейность векторного произведения:

Раскроем скобки с использованием свойства векторного произведения:

Здесь важно помнить, что:

• $\mathbf{p} \times \mathbf{p} = \mathbf{0}$ (векторное произведение любого вектора с самим собой равно нулю),

• $\mathbf{q} \times \mathbf{q} = \mathbf{0}$,

• $\mathbf{p} \times \mathbf{q} = - \mathbf{q} \times \mathbf{p}$.

Таким образом, выражение упрощается:

Так как $\mathbf{p} \times \mathbf{q} = - \mathbf{q} \times \mathbf{p}$, подставим это в выражение:

Теперь вычислим длину векторного произведения $\mathbf{p} \times \mathbf{q}$. Площадь параллелограмма, построенного на векторах $\mathbf{p}$ и $\mathbf{q}$, равна:

Поскольку угол между $\mathbf{p}$ и $\mathbf{q}$ равен $\frac{\pi}{2}$, то $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$. Таким образом:

Теперь, возвращаемся к выражению для площади параллелограмма:

Ответ: площадь параллелограмма равна 1.