Найти площадь прямоугольного треугольника ABC, у которого AB — гипотенуза, катет CB = 4 см, а угол A = 30°.

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника ABC, где AB — гипотенуза, катет CB = 4 см, а угол A = 30°, используем формулу для площади прямоугольного треугольника:

$S = \frac{1}{2} \times \text{катет}_1 \times \text{катет}_2$

В этом случае у нас есть катет CB, и нам нужно найти второй катет AC. Для этого воспользуемся тригонометрией.

У нас дан угол A, равный 30°. В прямоугольном треугольнике:

• Синус угла A (30°) равен отношению противолежащего катета (CB) к гипотенузе (AB).

• Косинус угла A (30°) равен отношению прилежащего катета (AC) к гипотенузе (AB).

Используем эти свойства для нахождения катета AC.

1. Для нахождения гипотенузы AB, используя синус угла A:

   $\sin(30^\circ) = \frac{CB}{AB}$

   $\frac{1}{2} = \frac{4}{AB}$

   $AB = 8 \, \text{см}$

2. Теперь найдем катет AC, используя косинус угла A:

   $\cos(30^\circ) = \frac{AC}{AB}$

   $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AC}{8}$

   $AC = 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \, \text{см}$

3. Теперь, зная оба катета, можем найти площадь треугольника:

   $S = \frac{1}{2} \times CB \times AC = \frac{1}{2} \times 4 \times 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \, \text{см}^2$

Ответ: площадь прямоугольного треугольника ABC равна $8\sqrt{3} \, \text{см}^2$.