Угол при основании равнобедренного треугольника равен 30 градусов. Найдите меньший угол между боковой стороной треугольника и высотой, проведённой к другой боковой стороне.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$ и боковыми сторонами $AC=BC$. Тогда углы при основании:

а вершины:

Проведём высоту к боковой стороне $BC$ из вершины $A$. Обозначим её $AH$, где $H$ — основание перпендикуляра:

Нужно найти меньший угол между боковой стороной $AC$ и этой высотой $AH$, то есть $\angle CAH$.

Важный момент: куда падает высота

Угол $\angle C=120^\circ$ — тупой. В тупоугольном треугольнике высота из вершины, соседней с тупым углом (здесь из $A$ к стороне $BC$), падает не на отрезок $BC$, а на его продолжение за точку $C$. Значит, точка $H$ лежит на прямой $BC$ по другую сторону от $C$.

Тогда луч $CH$ направлен противоположно лучу $CB$, поэтому угол между $CA$ и $CH$ равен:

Рассмотрим треугольник $ACH$

В треугольнике $ACH$:

• $\angle AHC = 90^\circ$ (по построению высоты),

• $\angle ACH = 60^\circ$.

Тогда третий угол:

Это и есть меньший угол между боковой стороной $AC$ и высотой $AH$.

Ответ: $30^\circ$.