В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагональ BD делит угол B пополам. BD = 2BC, AB = BC. Докажите, что ∠BAD = ∠BDC.

Рассмотрим выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Дано:

• $AB = BC$;

• диагональ $BD$ — биссектриса угла $B$, то есть $\angle ABD = \angle DBC$;

• $BD = 2BC$.

Нужно доказать: $\angle BAD = \angle BDC$.

1) Введём обозначения и сразу используем $AB=BC$

Пусть

Тогда по условию

Обозначим

Тогда весь угол при $B$ равен

2) Посмотрим на треугольник $BCD$ и применим теорему косинусов

В треугольнике $BCD$ известны две стороны:

и угол между ними:

По теореме косинусов:

Значит

3) Теперь треугольник $ABD$: снова теорема косинусов

В треугольнике $ABD$:

По теореме косинусов:

Следовательно,

4) Получили ключевое равенство $AD = CD$

Из пунктов 2) и 3):

Значит, треугольник $ADC$ равнобедренный с боковыми сторонами $AD$ и $CD$, а значит равны углы при основании $AC$:

5) Свяжем нужные углы $\angle BAD$ и $\angle BDC$ через углы при $AC$

Рассмотрим углы $\angle BAD$ и $\angle BDC$. Разложим каждый как сумму/разность углов с участием диагонали $AC$.

Угол $\angle BAD$ можно представить как:

Угол $\angle BDC$ представим так:

Это неудобно. Сделаем иначе: воспользуемся тем, что $BD$ — биссектриса в вершине $B$ и