В равнобедренном остроугольном треугольнике АВС АВ=ВС=60 см, а
расстояние от вершины А до точки пересечения высот равно 45 см. Найдите площадь
треугольника.

Чтобы найти площадь равнобедренного остроугольного треугольника $ABC$ с данными условиями, можно воспользоваться геометрическими свойствами и формулами.

Дано:

1. $AB = BC = 60$ см (две боковые стороны равны, так как треугольник равнобедренный).
2. Расстояние от вершины $A$ до ортоцентра (точки пересечения высот) равно 45 см.

Необходимо найти: площадь треугольника $ABC$.

Шаг 1: Понимание свойств треугольника

Поскольку треугольник равнобедренный, его высота, проведённая из вершины $A$ к основанию $BC$, будет также медианой и биссектрисой. Пусть $H$ — точка пересечения высот (ортоцентр), и точка $D$ — основание высоты, опущенной из вершины $A$ на сторону $BC$. Тогда отрезок $AD$ будет высотой к основанию $BC$.

Шаг 2: Обозначение неизвестных

Обозначим основание $BC$ как $x$. Нам известно, что $AB = BC = 60$ см, и расстояние от вершины $A$ до ортоцентра $H$ равно $45$ см. Так как $H$ лежит на высоте $AD$, и точка $H$ делит её в некотором соотношении, используем это, чтобы выразить высоту $AD$ через известные данные.

Шаг 3: Найдём высоту $AD$

Из свойств равнобедренного треугольника и расположения ортоцентра можно заключить, что отрезок $AH$ составляет $\frac{2}{3}$ от всей высоты $AD$. Поэтому:

Шаг 4: Площадь треугольника

Площадь треугольника можно найти по формуле:

Подставим значения:

Ответ

Площадь треугольника $ABC$ равна $2025$ квадратных сантиметров.