В треугольнике АВС угол А равен 135 градусов. Продолжения высот BD и CE пересекаются в точке О. Найдите угол DOE.

Давай разберёмся шаг за шагом.

У нас есть треугольник $ABC$ с углом $A = 135^\circ$. Обозначим:

• $D$ — основание высоты из $B$ на $AC$,

• $E$ — основание высоты из $C$ на $AB$,

• $O$ — точка пересечения продолжений этих высот (то есть $O$ — точка ортополя треугольника, только в данном случае она лежит вне треугольника, потому что угол $A > 90^\circ$).

Нам нужно найти $\angle DOE$, где $D$ и $E$ — основания высот, а $O$ — точка их пересечения.

Шаг 1. Свойства углов при угле больше 90°

Если угол $\angle A = 135^\circ$, треугольник тупоугольный, с тупым углом при $A$. В тупоугольном треугольнике ортополь находится вне треугольника, на стороне, противоположной тупому углу.

Продолжения высот, проведённые из вершин $B$ и $C$, будут пересекаться на внешнем перпендикуляре к прямым $AC$ и $AB$.

Шаг 2. Используем известное свойство

Для любого треугольника с вершиной $A$ и тупым углом выполняется следующее свойство:

Если $\angle A > 90^\circ$, угол, образованный пересечением продолжений высот из двух других вершин (как у нас $\angle DOE$) равен $180^\circ - \angle A$.

Почему это так: точка $O$ — ортополь, а $D$ и $E$ — основания высот. Считаем треугольник $DOE$:

• $DO$ и $EO$ — продолжения высот, образуют угол вне треугольника.

• В геометрии есть теорема: угол между продолжениями высот из двух вершин треугольника равен 180° минус угол при третьей вершине.

Шаг 3. Подставляем значения

✅ Ответ

Таким образом, угол между продолжениями высот $BD$ и $CE$ равен 45 градусам.