В равнобедренном треугольнике MON с основанием MN на медиане OP взята точка D. Докажите, что если на основании отложены равные отрезки PA и PB, то ∆PAD=∆PBD

Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle MON$ с основанием $MN$ и вершиной $O$, причем медиана $OP$ проведена из вершины $O$ к основанию $MN$. На медиане $OP$ взята точка $D$. Нам также известно, что на основании $MN$ отложены равные отрезки $PA = PB$, где $A$ и $B$ — точки на основании $MN$, симметрично расположенные относительно точки $P$.

Необходимо доказать, что $\triangle PAD \cong \triangle PBD$.

Шаг 1: Симметрия треугольника и медианы

Поскольку $\triangle MON$ — равнобедренный треугольник с основанием $MN$, медиана $OP$, проведенная из вершины $O$ к основанию $MN$, также является высотой и биссектрисой. Это значит, что точка $P$ делит отрезок $MN$ пополам, то есть $MP = PN$, и угол $\angle MOP = \angle NOP$.

Шаг 2: Равные отрезки $PA$ и $PB$

По условию, отрезки $PA$ и $PB$ равны, а точки $A$ и $B$ находятся на $MN$ симметрично относительно точки $P$. Это значит, что треугольник $\triangle PAB$ также симметричен относительно $OP$, и поэтому $\angle PAB = \angle PBA$.

Шаг 3: Треугольники $\triangle PAD$ и $\triangle PBD$

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle PAD$ и $\triangle PBD$. Мы знаем следующее:

1. Сторона $PA = PB$ по условию.
2. Углы $\angle PDA$ и $\angle PDB$ равны, так как $OP$ — медиана и биссектриса, и $D$ лежит на $OP$.
3. Сторона $PD$ является общей для треугольников $\triangle PAD$ и $\triangle PBD$.

Шаг 4: Применение признака равенства треугольников (сторона-угол-сторона)

Согласно признаку равенства треугольников по стороне, углу и стороне (СУС), треугольники равны, если они имеют одну равную сторону, равные прилежащие углы и еще одну равную сторону.

В нашем случае:

• Сторона $PA = PB$,
• Угол $\angle PDA = \angle PDB$,
• Общая сторона $PD$ совпадает для обоих треугольников.

Следовательно, $\triangle PAD \cong \triangle PBD$ по признаку равенства треугольников СУС (сторона-угол-сторона).

Вывод

Мы доказали, что $\triangle PAD \cong \triangle PBD$, что и требовалось.