В ромбе ABCD с вершины тупого угла В проведено высоты BМ и BN. Докажите, что BM = BN. ( желательно в тетради)

Для доказательства равенства отрезков BM и BN в ромбе ABCD, где BM и BN являются высотами, проведёнными из вершины тупого угла B, можно использовать свойства ромба и свойства равнобедренных треугольников.

1. Свойства ромба:

• В ромбе все стороны равны.
• Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам точкой пересечения.

2. Проведение высот:

• Пусть высоты BM и BN пересекают стороны AD и CD в точках M и N соответственно. Так как BM и BN - высоты, то они перпендикулярны сторонам AD и CD.

3. Применение свойств ромба:

• Рассмотрим диагонали AC и BD ромба ABCD. Они пересекаются под прямым углом в некоторой точке O и делятся точкой O пополам.

4. Анализ треугольников:

• Треугольники BMD и BND являются прямоугольными (по определению высоты).
• Так как BD - диагональ ромба, то она делит его на два равнобедренных треугольника BAC и BDC. Поскольку треугольники BAC и BDC равнобедренные, то точка O лежит на середине каждой из диагоналей, то есть BO = OD.

5. Равенство треугольников:

• Треугольники BMO и BNO равнобедренные (по свойству равнобедренного треугольника, когда медиана является высотой).
• Учитывая, что BO = OD и BM и BN являются высотами, получаем, что BM = BN.

Заключение: Таким образом, используя свойства ромба и равенство соответствующих элементов в равнобедренных треугольниках, мы доказали, что отрезки BM и BN равны.