В треугольнике АВС угол В в два раза больше угла А, а длина стороны ВС = 200. Найдите биссектрису ВД этого треугольника, если ДС = 125.

Обозначим \(\angle A = \alpha\). Тогда \(\angle B = 2\alpha\), \(\angle C = 180^\circ - 3\alpha\).

\(BD\) — биссектриса, поэтому \(\angle ABD = \angle DBC = \alpha\).

В треугольнике \(BDC\): \(\angle BDC = 180^\circ - \angle DBC - \angle C = 180^\circ - \alpha - (180^\circ - 3\alpha) = 2\alpha\).

По теореме синусов для \(\triangle BDC\):

\[ \frac{BC}{\sin 2\alpha} = \frac{DC}{\sin \alpha} \]

Подставляем \(BC = 200\), \(DC = 125\):

\[ \frac{200}{\sin 2\alpha} = \frac{125}{\sin \alpha} \]

Так как \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\), получаем:

\[ \frac{200}{2\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{125}{\sin\alpha} \;\Rightarrow\; \frac{100}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{125}{\sin\alpha} \;\Rightarrow\; \frac{100}{\cos\alpha} = 125 \;\Rightarrow\; \cos\alpha = \frac{4}{5} \]

Тогда \(\sin\alpha = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \frac{3}{5}\).

Находим \(\sin 2\alpha = 2\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5} = \frac{24}{25}\), \(\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha = 3\cdot\frac{3}{5} - 4\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^3 = \frac{9}{5} - \frac{108}{125} = \frac{117}{125}\).

Снова по теореме синусов в \(\triangle BDC\):

\[ \frac{BD}{\sin \angle C} = \frac{BC}{\sin 2\alpha} \]

\(\angle C = 180^\circ - 3\alpha\), поэтому \(\sin \angle C = \sin(180^\circ - 3\alpha) = \sin 3\alpha = \frac{117}{125}\).

\[ BD = \frac{\sin 3\alpha \cdot BC}{\sin 2\alpha} = \frac{\frac{117}{125} \cdot 200}{\frac{24}{25}} = \frac{117 \cdot 200 \cdot 25}{125 \cdot 24} = \frac{117 \cdot 200}{120} = \frac{117 \cdot 5}{3} = 195 \]

Ответ: \(BD = 195\).

Отправить ответ