Докажите лемму о пересечении продолжения высоты треугольника с описанной окружностью: «Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H, высота BB₁ пересекает описанную окружность в точке B₂. Доказать, что B₁H = B₁B₂». (Проведите высоту CC₁ и рассмотрите вписанные углы.)

Пусть \(BB_1\) — высота треугольника \(ABC\), а точка \(B_2\) — вторая точка пересечения прямой \(BB_1\) с описанной окружностью. Проведём высоту \(CC_1\). Тогда точка \(H\) лежит на \(CC_1\), поэтому \(CH \perp AB\). Также \(BH \perp AC\).

Рассмотрим треугольники \(CB_1H\) и \(CB_1B_2\).

• Так как \(BB_1 \perp AC\), то \(\angle CB_1H = 90^\circ\) и \(\angle CB_1B_2 = 90^\circ\).
• Угол \(\angle CHB_1\) равен углу \(\angle CAB\), потому что стороны этих углов соответственно перпендикулярны: \(CH \perp AB\), \(HB_1 \perp AC\).
• Угол \(\angle CB_2B_1\) равен \(\angle CB_2B\), а он равен \(\angle CAB\), так как это вписанные углы, опирающиеся на одну хорду \(CB\).

Значит, \(\angle CHB_1 = \angle CB_2B_1\), а оба треугольника прямоугольные. Следовательно, треугольники \(CB_1H\) и \(CB_1B_2\) подобны.

При этом сторона \(CB_1\) у них общая и соответствует сама себе. Значит, коэффициент подобия равен \(1\), поэтому соответствующие стороны равны:

\[B_1H = B_1B_2.\]

Лемма доказана.

0 0 Пожаловаться