В выпуклом четырёхугольнике ABCD длина отрезка, соединяющего середины сторон AB и CD, равна одному метру. Прямые BC и AD перпендикулярны. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей AC и BD

Чтобы найти длину отрезка, соединяющего середины диагоналей $AC$ и $BD$ в выпуклом четырёхугольнике $ABCD$, начнём с рассмотрения условий задачи и воспользуемся свойствами четырёхугольников с перпендикулярными диагоналями.

1. Пусть $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Длина отрезка $MN$, соединяющего середины противоположных сторон $AB$ и $CD$, равна 1 метру (по условию задачи).

2. Пусть $O$ и $P$ — середины диагоналей $AC$ и $BD$ соответственно. Нам нужно найти длину отрезка $OP$, соединяющего эти середины.

Ключевые факты и теоремы

• Для четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями существует интересное свойство: если мы соединим середины противоположных сторон, то получим отрезок, параллельный и равный половине суммы длин противоположных сторон.

• Для любых четырёхугольников существует теорема Вариньона, которая утверждает, что середины сторон выпуклого четырёхугольника образуют параллелограмм. Параллелограмм Вариньона имеет диагонали, которые равны половинам диагоналей исходного четырёхугольника.

Решение

В данной задаче четырёхугольник $ABCD$ обладает двумя перпендикулярными диагоналями, что позволяет нам сделать вывод, что диагонали $AC$ и $BD$ делят друг друга пополам в точке пересечения $O$. Таким образом, середина отрезка, соединяющего середины диагоналей, равна половине длины отрезка $MN$.

Поскольку $MN = 1$ метр, то искомая длина отрезка $OP = \frac{1}{2}$ метра.

Ответ

Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей $AC$ и $BD$, равна $0{,}5$ метра.