Сумма двух углов ромба равна 240 градусов. А его меньшая диагональ равна 27. Найдите периметр ромба

Для решения задачи сначала разберёмся с углами ромба и свойствами его диагоналей.

Шаг 1: Определение углов ромба

В ромбе противоположные углы равны, а сумма всех четырёх углов равна $360^\circ$. По условию задачи, сумма двух углов ромба равна $240^\circ$. Следовательно, каждый из этих углов равен:

Так как противоположные углы равны, то два других угла будут:

Эти углы делятся пополам, и каждый из них равен $60^\circ$.

Итак, в нашем ромбе два угла равны $120^\circ$, а два других — $60^\circ$.

Шаг 2: Использование диагоналей для нахождения стороны ромба

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят углы пополам. Это значит, что диагональ, которая соединяет вершины с углами $120^\circ$, делится пополам и образует два равнобедренных треугольника, где один из углов у вершины — $120^\circ \div 2 = 60^\circ$.

Пусть $d_2$ — меньшая диагональ, которая равна $27$ (по условию задачи). Так как диагонали делятся пополам, каждая половина меньшей диагонали будет равна:

Шаг 3: Нахождение стороны ромба

Теперь можно рассмотреть один из прямоугольных треугольников, образованных диагоналями, где гипотенуза является стороной ромба $a$, а катеты равны половинам диагоналей (одна из них равна $13.5$, а другая — неизвестной длины $d_1/2$).

Используем соотношение углов. В треугольнике с углом $60^\circ$ известно, что:

Подставляя значение $\cos 60^\circ = 0.5$:

Отсюда:

Шаг 4: Вычисление периметра

Теперь, когда мы нашли сторону ромба $a = 27$, можем найти его периметр $P$:

Ответ

Периметр ромба равен $108$.