Диагонали ромба АВСД равны 24 и 45 . Найдите длину вектора АВ-АС .

Давайте решим задачу.

1. Известные данные: У нас есть ромб $ABCD$, диагонали которого равны $24$ и $45$. В ромбе диагонали пересекаются и делят друг друга пополам, а также являются перпендикулярными.

2. Определим длины половин диагоналей:

   • Так как диагонали делятся пополам в точке пересечения, то одна половина диагонали $AC$ будет равна $\frac{24}{2} = 12$.
   • Половина диагонали $BD$ будет равна $\frac{45}{2} = 22.5$.

3. Найдём сторону ромба $AB$:

   • Поскольку диагонали ромба перпендикулярны и делят его на четыре прямоугольных треугольника, то стороны ромба можно найти по теореме Пифагора для одного из этих треугольников.
   • Рассмотрим треугольник $AOB$, где $O$ — точка пересечения диагоналей. В этом треугольнике катеты $AO = 12$ и $BO = 22.5$, а гипотенуза $AB$ равна стороне ромба.
   • По теореме Пифагора: $$AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{12^2 + 22.5^2} = \sqrt{144 + 506.25} = \sqrt{650.25} \approx 25.5$$

4. Найдем вектор $\vec{AB} - \vec{AC}$:

   • Заметим, что так как $ABCD$ — ромб, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ не коллинеарны, но образуют определённый угол.
   • В случае ромба $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ образуют угол $120^\circ$ (так как диагонали делят углы ромба пополам).
   • Длину вектора $\vec{AB} - \vec{AC}$ можно найти по формуле: $$|\vec{AB} - \vec{AC}| = \sqrt{|\vec{AB}|^2 + |\vec{AC}|^2 - 2 \cdot |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos 120^\circ}$$
   • Подставим значения. Длины $|\vec{AB}| \approx 25.5$ и $|\vec{AC}| = 24$, а $\cos 120^\circ = -0.5$: $$|\vec{AB} - \vec{AC}| = \sqrt{25.5^2 + 24^2 - 2 \cdot 25.5 \cdot 24 \cdot (-0.5)}$$ $$= \sqrt{650.25 + 576 + 612} = \sqrt{1838.25} \approx 42.9$$

Ответ: длина вектора $\vec{AB} - \vec{AC}$