Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 1:3,считая от вершины острого угла.Найдите большую сторону параллелограмма,если его периметр равен 65.

Для решения задачи, нам нужно найти большую сторону параллелограмма, зная, что биссектриса тупого угла делит противоположную сторону в отношении 1:3, и периметр параллелограмма равен 65.

1. Обозначения и основные факты: Пусть $ABCD$ — параллелограмм, где угол $\angle DAB$ тупой. Пусть $AB = a$ — меньшая сторона параллелограмма, а $AD = b$ — большая сторона. Периметр параллелограмма равен 65, то есть:

   $$2(a + b) = 65 \quad \Rightarrow \quad a + b = 32,5$$

   Также, пусть $M$ — точка на стороне $CD$, где биссектриса угла $\angle DAB$ пересекает сторону $CD$. Из условия задачи известно, что биссектриса делит $CD$ в отношении 1:3, считая от вершины острого угла $A$, то есть:

   $$CM : MD = 1 : 3$$

   Таким образом, $CM = \frac{1}{4}CD$ и $MD = \frac{3}{4}CD$.

2. Использование теоремы о биссектрисе: В параллелограмме биссектриса угла делит противоположную сторону в отношении, равном отношению длин прилегающих сторон. То есть, отношение длин отрезков $CM$ и $MD$ будет равно отношению длин сторон $AB$ и $AD$:

   $$\frac{CM}{MD} = \frac{AB}{AD} = \frac{a}{b}$$

   Поскольку $CM : MD = 1 : 3$, то:

   $$\frac{a}{b} = \frac{1}{3}$$

   Это означает, что:

   $$a = \frac{b}{3}$$

3. Нахождение сторон параллелограмма: Мы знаем, что $a + b = 32,5$, и подставим сюда выражение для $a$:

   $$\frac{b}{3} + b = 32,5$$

   Приводим к общему знаменателю:

   $$\frac{b + 3b}{3} = 32,5 \quad \Rightarrow \quad \frac{4b}{3} = 32,5$$

   Умножим обе стороны на 3:

   $$4b = 97,5$$

   Разделим на 4:

   $$b = 24,375$$

4. Ответ: Большая сторона параллелограмма $AD = b = 24,375$.