Прямая MA проходит через вершину квадрата ABCD и не лежит в плоскости квадрата. а)Докажите, что MA и BC - скрещивающиеся прямые
б)Найдите угол между прямыми MA и BC,если угол MAD = 45градусов
пожалуйста с подробным решением и рисунком!!

Решение задачи

Дано:

1. Квадрат $ABCD$ расположен в плоскости.
2. Прямая $MA$ проходит через вершину $A$ квадрата и не лежит в его плоскости.
3. Угол между прямой $MA$ и плоскостью квадрата ($MAD$) равен $45^\circ$.

Нужно:

1. Доказать, что прямые $MA$ и $BC$ скрещивающиеся.
2. Найти угол между прямыми $MA$ и $BC$.

1. Доказательство того, что $MA$ и $BC$ — скрещивающиеся прямые

Определение скрещивающихся прямых

Две прямые называются скрещивающимися, если:

• они не пересекаются;
• они не параллельны.

Разбор

1. Прямая $BC$ лежит в плоскости квадрата $ABCD$, поскольку это одна из его сторон.
2. Прямая $MA$ проходит через вершину $A$ и не лежит в плоскости квадрата (условие задачи). Следовательно, она наклонена к этой плоскости.
3. Так как $MA$ уходит в трёхмерное пространство, она не может быть параллельна прямой $BC$, которая целиком находится в плоскости квадрата.
4. Прямая $MA$ также не пересекает $BC$, так как единственная точка пересечения $MA$ с плоскостью квадрата — это точка $A$, а $BC$ не проходит через $A$.

Таким образом, прямые $MA$ и $BC$ скрещиваются.

2. Нахождение угла между $MA$ и $BC$

Угол между скрещивающимися прямыми

Для скрещивающихся прямых угол между ними определяется через их направляющие векторы и метод построения вспомогательной плоскости. Угол можно находить через их проекции.

Разберем условия:

• Угол между прямой $MA$ и плоскостью ($MAD$) равен $45^\circ$.
• Прямая $BC$ горизонтальна и лежит в плоскости квадрата.

Построение:

1. Пусть квадрат $ABCD$ лежит в плоскости $Oxy$, где:

   • $A(0, 0, 0)$,
   • $B(a, 0, 0)$,
   • $C(a, a, 0)$,
   • $D(0, a, 0)$.

2. Прямая $MA$ выходит из точки $A$ в пространстве. Её направляющий вектор можно записать как $\vec{MA} = (0, 0, m)$, где $m > 0$, так как прямая направлена вверх.

3. Прямая $BC$ задаётся направляющим вектором $\vec{BC} = (0, a, 0)$.

Угол между прямыми:

Угол между прямыми определяется через скалярное произведение их направляющих векторов:

1. Вычислим скалярное произведение $\vec{MA}$ и $\vec{BC}$:

   $$\vec{MA} \cdot \vec{BC} = (0) \cdot (0) + (0) \cdot (a) + (m) \cdot (0) = 0.$$

   Таким образом, $\vec{MA}$ и $\vec{BC}$ ортогональны.

2. Модуль векторов:

   • $|\vec{MA}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + m^2} = m$,
   • $|\vec{BC}| = \sqrt{0^2 + a^2 + 0^2} = a$.

3. Угол между $MA$ и $BC$: Поскольку скалярное произведение равно нулю, угол между векторами $90^\circ$.

Ответ

1. Прямые $MA$ и $BC$ скрещивающиеся, так как они не пересекаются и не параллельны.
2. Угол между $MA$ и $BC$ равен $90^\circ$