Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB=20,а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 24 и 10.

Задача на нахождение длины хорды окружности с использованием геометрических соображений и теоремы о расстояниях от центра до хорд.

Итак, у нас есть две хорды: AB и CD. Мы знаем, что длина хорды AB равна 20, расстояние от центра окружности до хорды AB равно 24, а расстояние от центра окружности до хорды CD равно 10. Нам нужно найти длину хорды CD.

Шаг 1. Обозначения и подготовка. Пусть центр окружности — точка O. Пусть расстояние от центра окружности до хорды AB равно 24, а до хорды CD — 10.

Обозначим:

• $AB = 20$ — длина хорды AB.
• $d_1 = 24$ — расстояние от центра окружности до хорды AB.
• $d_2 = 10$ — расстояние от центра окружности до хорды CD.
• $L$ — длина хорды CD, которую нужно найти.

Шаг 2. Рассмотрим геометрическую фигуру. Для каждой хорды, перпендикулярно которой проведена линия, соединяющая центр окружности с серединой хорды, создается прямоугольный треугольник. В этом треугольнике гипотенуза — радиус окружности, один из катетов — расстояние от центра до хорды, а другой катет — половина длины хорды.

Обозначим радиус окружности как $R$.

Шаг 3. Используем теорему Пифагора для хорды AB. Для хорды AB длина половины хорды будет равна $\frac{AB}{2} = 10$. Также расстояние от центра окружности до хорды AB — это катет $d_1 = 24$. Таким образом, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике, получим:

откуда

Шаг 4. Применяем теорему Пифагора для хорды CD. Теперь, зная радиус окружности $R = 26$, используем теорему Пифагора для хорды CD. Пусть длина хорды CD равна $L$. Тогда половина этой хорды будет равна $\frac{L}{2}$, а расстояние от центра окружности до хорды CD — это $d_2 = 10$.

В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом, половиной хорды и расстоянием от центра до хорды CD, по теореме Пифагора имеем:

Подставляем значения $R = 26$ и $d_2 = 10$:

Шаг 5. Находим длину хорды CD. Так как $\frac{L}{2} = 24$, то

Ответ: Длина хорды CD равна 48.