В правильной четырехугольной пирамиде высота 6 см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол 30 градусов. Найти: а) объем пирамиды, б) высоту цилиндра, равновеликого данной пирамиде, если радиус основания равен 4 см. (Тела называют равновеликими, если их объемы равны).

Обозначим: $S$ — вершина пирамиды, $O$ — центр квадратного основания, $A$ — вершина основания. Тогда $SO=6$ см — высота пирамиды.

Боковое ребро $SA$ образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Его проекцией на основание является отрезок $AO$. Поэтому в прямоугольном треугольнике $SAO$:

Отсюда

Отрезок $AO$ — это радиус описанной окружности квадрата. Для квадрата со стороной $a$:

Значит,

Площадь основания:

а) Объем пирамиды

б) Высота равновеликого цилиндра

Объем цилиндра радиуса $r=4$ см:

Так как цилиндр равновелик пирамиде,