Биссектриса угла а прямоугольника abcd пересекает сторону bc в точке м. Найдите площадь прямоугольника,если ВМ= 3 см и МС = 4 см.

Давайте решим задачу пошагово.

Дано:

1. $ABCD$ — прямоугольник.
2. Биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $M$.
3. $BM = 3 \, \text{см}$, $MC = 4 \, \text{см}$.

Найти площадь прямоугольника.

Шаг 1. Свойства биссектрисы

Биссектриса угла делит угол на два равных, а также делит противоположную сторону на части пропорционально прилежащим сторонам. Для прямоугольника $ABCD$, где стороны $AB = h$ (высота) и $AD = a$ (основание), биссектриса угла $A$ делит $BC$ (диагональ противоположной стороны) в пропорции:

Подставим данные:

Это означает, что $AB : AD = 3 : 4$. Следовательно, $AB = 3k$, а $AD = 4k$, где $k$ — общий множитель.

Шаг 2. Длина диагонали $AC$

Для прямоугольника диагональ $AC$ выражается как:

Подставим $AB = 3k$ и $AD = 4k$:

Таким образом, диагональ $AC$ равна $5k$.

Шаг 3. Координаты точки $M$ на $BC$

Точка $M$ делит диагональ $AC$ на части, пропорциональные длинам $AB$ и $AD$. Для прямоугольника биссектриса угла $A$ делит диагональ в том же отношении, что и стороны $AB$ и $AD$, то есть $3 : 4$.

Это означает, что длина $AM$ (часть диагонали $AC$ от вершины $A$ до точки $M$) равна:

Длина $MC$ будет оставшейся частью диагонали:

Шаг 4. Выражение $k$ через данные $BM$ и $MC$

По условию, длины $BM$ и $MC$ равны $3 \, \text{см}$ и $4 \, \text{см}$, соответственно. Длина $BC$ как сумма $BM + MC$ равна:

Ранее мы выразили $BC$ через $k$, зная $AB$ и $AD$:

Приравняем: