В равнобедренном треугольнике ABC угол ABC равен 120° . Высота BK , проведённая к основанию,

равна 30. Найдите боковую сторону AB.​

Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle ABC$, в котором $\angle ABC = 120^\circ$, высота $BK$, проведённая к основанию $AC$, равна 30, и нам нужно найти боковую сторону $AB$.

Шаг 1: Разбиение треугольника на два прямоугольных треугольника

Высота $BK$ делит равнобедренный треугольник $\triangle ABC$ на два прямоугольных треугольника $\triangle ABK$ и $\triangle BKC$. Кроме того, высота делит основание $AC$ пополам, поэтому:

Шаг 2: Углы в прямоугольном треугольнике

Угол $\angle ABC = 120^\circ$. Поскольку высота $BK$ делит угол пополам, углы при основании прямоугольных треугольников равны:

Таким образом, $\triangle ABK$ и $\triangle BKC$ являются прямоугольными треугольниками с углами $30^\circ$, $60^\circ$, и $90^\circ$.

Шаг 3: Свойства треугольника с углами $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$

В треугольнике $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$ стороны имеют следующие соотношения:

• Катет, лежащий напротив угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы.
• Катет, лежащий напротив угла $60^\circ$, равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$ от гипотенузы.

Обозначим гипотенузу треугольника $ABK$ (то есть $AB$) через $x$. Тогда:

где $BK = 30$.

Шаг 4: Найдём гипотенузу $x = AB$

Подставим значение $BK = 30$ в формулу:

Умножим обе части на $\frac{2}{\sqrt{3}}$, чтобы выразить $x$:

Упростим, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

Ответ:

Боковая сторона $AB$ равна $20 \sqrt{3}$.