Стороны PM и MK равнобедренного треугольника MPK равны. MO-высота этого треугольника. Через точку O проведена прямая, параллельная прямой MP и пересекающая сторону MK в точке E. Вычислите градусные меры углов треугольника EMO, если угол MPK= 50 градусов.

Давайте разберем задачу подробно.

Условие:

• Треугольник $\triangle MPK$ равнобедренный, $PM = MK$.
• $MO$ — высота треугольника, то есть $MO$ перпендикулярна $MK$.
• Через точку $O$ проведена прямая, параллельная $MP$, которая пересекает сторону $MK$ в точке $E$.
• Угол $\angle MPK = 50^\circ$.

Нужно найти градусные меры углов треугольника $\triangle EMO$.

Решение

1. Анализ треугольника $\triangle MPK$:
   Поскольку $\triangle MPK$ равнобедренный ($PM = MK$), его углы при основании равны.
   Угол $\angle MPK = 50^\circ$, значит:

   $$\angle PMK = \angle PKM = \frac{180^\circ - \angle MPK}{2} = \frac{180^\circ - 50^\circ}{2} = 65^\circ.$$

2. Свойства высоты $MO$:

   • Высота $MO$ в равнобедренном треугольнике делит угол $\angle MPK$ пополам, а также делит основание $MK$ пополам.
   • Угол при вершине $\angle MPK = 50^\circ$ делится пополам, значит: $$\angle MPO = \angle KPO = \frac{\angle MPK}{2} = \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ.$$

3. Параллельность прямой через $O$ с $MP$:
   Прямая, проходящая через точку $O$, параллельна $MP$. Это значит, что угол между этой прямой и $MK$ будет таким же, как угол $\angle PMK = 65^\circ$. Соответственно, $\angle EMO$ равен $65^\circ$.

4. Определение остальных углов треугольника $\triangle EMO$:
   Треугольник $\triangle EMO$ имеет три угла:

   • $\angle EMO = 65^\circ$ (обосновано выше).
   • $\angle OME$ — угол между высотой $MO$ и $MK$. Так как $MO$ — перпендикуляр к $MK$, то: $$\angle OME = 90^\circ.$$
   • Третий угол $\angle EOM$ вычисляется по правилу суммы углов треугольника: $$\angle EOM = 180^\circ - \angle EMO - \angle OME = 180^\circ - 65^\circ - 90^\circ = 25^\circ.$$

Ответ:

Углы треугольника $\triangle EMO$:

• $\angle EMO = 65^\circ$,
• $\angle OME = 90^\circ$,
• $\angle EOM = 25^\circ$.